यदि ${ }^{n} P_{r}={ }^{n} P_{r+1}$ और ${ }^{n} C_{r}={ }^{n} C_{r-1}$ है,तो $r$ का मान किसके बराबर है?

$\sum\limits_{r = 1}^{15} {{r^2} \left( \frac{^{15}C_r}{^{15}C_{r - 1}} \right)}$ का मान किसके बराबर है?

समूह $A$ में $7$ लड़के और $3$ लड़कियाँ हैं,जबकि समूह $B$ में $6$ लड़के और $5$ लड़कियाँ हैं। यदि $5$ विद्यार्थियों को समूह $A$ से और शेष $3$ विद्यार्थियों को समूह $B$ से चुना जाना है,तो कुल $4$ लड़कों और $4$ लड़कियों को पिकनिक के लिए आमंत्रित करने के तरीकों की संख्या क्या होगी?

$7$ व्यंजनों और $4$ स्वरों में से, ऐसे शब्द बनाए जाते हैं जिनमें प्रत्येक में $3$ व्यंजन और $2$ स्वर हों। ऐसे कितने शब्द बनाए जा सकते हैं?

एक प्रश्न पत्र में तीन खंड हैं,प्रत्येक में $4$ प्रश्न हैं। यदि एक उम्मीदवार को किसी भी खंड को छोड़े बिना इस प्रश्न पत्र से केवल $5$ प्रश्नों के उत्तर देने हैं,तो उम्मीदवार कितने तरीकों से प्रश्नों का चयन कर सकता है?

$1, 2, 3$ और $5$ अंकों का उपयोग करके बनाई गई (अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है) $4$ अंकों की संख्याएँ जो $15$ से विभाज्य हैं,उनकी संख्या $............$ है।