यदि int frac{1}{x} sqrt{frac{1-x}{1+x}} dx = | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} dx$. $x = \cos 2	heta$ रखने पर,$dx = -2 \sin 2	heta d	heta$ प्राप्त होता है।अतः $I = \int \fr

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$\log_{e}\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\right) + \frac{\pi}{3}$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} dx$. $x = \cos 2	heta$ रखने पर,$dx = -2 \sin 2	heta d	heta$ प्राप्त होता है।अतः $I = \int \frac{1}{\cos 2	heta} \sqrt{\frac{1-\cos 2	heta}{1+\cos 2	heta}} (-2 \sin 2	heta) d	heta = \int \frac{1}{\cos 2	heta} 	an 	heta (-4 \sin 	heta \cos 	heta) d	heta$.$I = \int \frac{-4 \sin^2 	heta}{\cos 2	heta} d	heta = -2 \int \frac{1-\cos 2	heta}{\cos 2	heta} d	heta = -2 \int (\sec 2	heta - 1) d	heta$.$I = -2 \left( \frac{1}{2} \ln |\sec 2	heta + 	an 2	heta| - 	heta ight) + c = -\ln |\sec 2	heta + 	an 2	heta| + 2	heta + c$.चूँकि $\cos 2	heta = x$,$	an 2	heta = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$ और $\sec 2	heta = \frac{1}{x}$ है,इसलिए $g(x) = -\ln \left| \frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x} ight| + \cos^{-1} x + c$.$g(1) = 0$ का उपयोग करने पर,$c = 0$ प्राप्त होता है। अतः $g(x) = \ln \left| \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}} ight| + \cos^{-1} x = \ln \left| \frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x} ight| + \cos^{-1} x$.$x = 1/2$ के लिए,$g(1/2) = \ln |2 - \sqrt{3}| + \cos^{-1}(1/2) = \ln \left( \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} ight) + \frac{\pi}{3}$.

यदि $\int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} dx = g(x) + c$ और $g(1) = 0$ है,तो $g\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\int \frac{2 e^x+3 e^{-x}}{3 e^x+4 e^{-x}} d x=A x+B \log \left(3 e^{2 x}+4\right)+C$ है,तो $A$ और $B$ के मान क्रमशः क्या हैं? (जहाँ $C$ समाकलन का एक स्थिरांक है।)

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