यदि $x = \sum_{n=0}^{\infty} a^{n}$,$y = \sum_{n=0}^{\infty} b^{n}$,$z = \sum_{n=0}^{\infty} c^{n}$,जहाँ $a, b, c$ $A.P.$ में हैं और $|a| < 1, |b| < 1, |c| < 1$,$abc \neq 0$,तो:

यदि $a, b, c$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ और गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ दोनों में हैं,तो

मान लीजिए $A_1, G_1, H_1$ दो भिन्न धनात्मक संख्याओं $a$ और $b$ के क्रमशः समांतर,गुणोत्तर और हरात्मक माध्य हैं। $n \geq 2$ के लिए,मान लीजिए $A_n, G_n, H_n$ क्रमशः $A_{n-1}$ और $H_{n-1}$ के समांतर,गुणोत्तर और हरात्मक माध्य हैं।
$1.$ निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ $G_1 > G_2 > G_3 > \ldots$
$(B)$ $G_1 < G_2 < G_3 < \ldots$
$(C)$ $G_1 = G_2 = G_3 = \ldots$
$(D)$ $G_1 < G_3 < G_5 < \ldots$ और $G_2 > G_4 > G_6 > \ldots$
$2.$ निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ $A_1 > A_2 > A_3 > \ldots$
$(B)$ $A_1 < A_2 < A_3 < \ldots$
$(C)$ $A_1 > A_3 > A_5 > \ldots$ और $A_2 < A_4 < A_6 < \ldots$
$(D)$ $A_1 < A_3 < A_5 < \ldots$ और $A_2 > A_4 > A_6 > \ldots$
$3.$ निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ $H_1 > H_2 > H_3 > \ldots$
$(B)$ $H_1 < H_2 < H_3 < \ldots$
$(C)$ $H_1 > H_3 > H_5 > \ldots$ और $H_2 < H_4 < H_6 < \ldots$
$(D)$ $H_1 < H_3 < H_5 < \ldots$ और $H_2 > H_4 > H_6 > \ldots$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।

मान लीजिए $a, b, c$ एक $A.P.$ में हैं और $a^2, b^2, c^2$ एक $G.P.$ में हैं। यदि $a < b < c$ और $a + b + c = \frac{3}{2}$ है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि दो संख्याओं का $A.M.$ और $H.M.$ क्रमशः $27$ और $12$ है,तो उन दो संख्याओं का $G.M.$ क्या होगा?

यदि दो धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के समांतर माध्य और हरात्मक माध्य का अनुपात $m:n$ है,तो $a:b$ का मान ज्ञात कीजिए।