यदि y = y(x),x in left(0, frac{pi}{2}right) अ | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(\sin^2 2x) \frac{dy}{dx} + (8 \sin^2 2x + 4 \sin 2x \cos 2x) y = 2 e^{-4x} (2 \sin 2x + \cos 2x)$ है।$\sin^2 2x$ से भाग देन

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$\frac{2}{\sqrt{3}} e^{-2\pi/3}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(\sin^2 2x) \frac{dy}{dx} + (8 \sin^2 2x + 4 \sin 2x \cos 2x) y = 2 e^{-4x} (2 \sin 2x + \cos 2x)$ है।$\sin^2 2x$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} + (8 + 4 \cot 2x) y = \frac{2 e^{-4x} (2 \sin 2x + \cos 2x)}{\sin^2 2x}$ प्राप्त होता है।यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = 8 + 4 \cot 2x$ है।समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int (8 + 4 \cot 2x) dx} = e^{8x + 2 \ln(\sin 2x)} = e^{8x} \sin^2 2x$ है।हल $y \cdot (e^{8x} \sin^2 2x) = \int (e^{8x} \sin^2 2x) \cdot \frac{2 e^{-4x} (2 \sin 2x + \cos 2x)}{\sin^2 2x} dx + C$ है।$y e^{8x} \sin^2 2x = \int 2 e^{4x} (2 \sin 2x + \cos 2x) dx + C$ है।सूत्र $\int e^{ax} (a f(x) + f'(x)) dx = e^{ax} f(x) + C$ का उपयोग करते हुए,$f(x) = \sin 2x$ लेने पर,$f'(x) = 2 \cos 2x$ प्राप्त होता है। अतः समाकलन $e^{4x} \sin 2x + C$ होगा।इस प्रकार,$y e^{8x} \sin^2 2x = e^{4x} \sin 2x + C$ है।चूंकि $y(\frac{\pi}{4}) = e^{-\pi}$ दिया गया है,तो $e^{-\pi} e^{2\pi} (1)^2 = e^{\pi} (1) + C \Rightarrow C = 0$ प्राप्त होता है।अतः,$y = \frac{e^{-4x}}{\sin 2x}$ है।$x = \frac{\pi}{6}$ के लिए,$y(\frac{\pi}{6}) = \frac{e^{-4(\pi/6)}}{\sin(\pi/3)} = \frac{e^{-2\pi/3}}{\sqrt{3}/2} = \frac{2}{\sqrt{3}} e^{-2\pi/3}$।

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