यदि z एक सम्मिश्र संख्या है जो |z^3+z^{-3}| l | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) दिया गया है $|z^3+z^{-3}| \leq 2$. मान लीजिए $z = re^{i	heta}$. तब $|z^3+z^{-3}| = |r^3e^{i3	heta} + r^{-3}e^{-i3	heta}| \leq 2$. त्रिभुज असमिक

Vedclass · Accepted Answer

$2$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $|z^3+z^{-3}| \leq 2$. मान लीजिए $z = re^{i	heta}$. तब $|z^3+z^{-3}| = |r^3e^{i3	heta} + r^{-3}e^{-i3	heta}| \leq 2$. त्रिभुज असमिका का उपयोग करते हुए,$|z^3+z^{-3}| \geq | |z^3| - |z^{-3}| | = |r^3 - r^{-3}|$. हालाँकि,हम जानते हैं कि $|z^3+z^{-3}| \leq |z^3| + |z^{-3}| = r^3 + r^{-3}$. $AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$r^3 + r^{-3} \geq 2$. चूंकि $|z^3+z^{-3}| \leq 2$ और $r^3+r^{-3} \geq 2$,इसलिए शर्त को संतुष्ट करने के लिए $|z|=1$ होना आवश्यक है। यदि $|z|=1$,तो $z = e^{i	heta}$,अतः $|z+z^{-1}| = |e^{i	heta} + e^{-i	heta}| = |2\cos	heta|$. $|2\cos	heta|$ का अधिकतम मान $2$ है जब $\cos	heta = \pm 1$ हो।

यदि $z$ एक सम्मिश्र संख्या है जो $|z^3+z^{-3}| \leq 2$ को संतुष्ट करती है,तो $|z+z^{-1}|$ का अधिकतम संभव मान क्या है?

Similar Questions

यदि $1+2i$ समीकरण $x^4-3x^3+8x^2-7x+5=0$ का एक मूल है,तो अन्य मूलों के वर्गों का योग क्या है?

यदि $z = x - iy$ और $z^{1/3} = p + iq$ $(x, y, p, q \in R)$ है, तो $\frac{(\frac{x}{p} + \frac{y}{q})}{(p^2 + q^2)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

सम्मिश्र संख्या $z = \frac{i-1}{\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}}$ को ध्रुवीय रूप में परिवर्तित कीजिए।

समीकरण $z^3+\overline{z}=0$ के सभी संभावित हलों की संख्या है

$z_1$ और $z_2$ दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं जैसे कि $|z_1 + z_2| = 1$ और $|z_1^2 + z_2^2| = 25$,तो $|z_1^3 + z_2^3|$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module