यदि f : R rightarrow R एक सतत फलन है जो int l | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int \limits_0^{\pi / 2} f(\sin 2x) \sin x \, dx + \alpha \int \limits_0^{\pi / 4} f(\cos 2x) \cos x \, dx = 0$. प्रथम समाकल को $\frac{\

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$-\sqrt{2}$

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(D) माना $I = \int \limits_0^{\pi / 2} f(\sin 2x) \sin x \, dx + \alpha \int \limits_0^{\pi / 4} f(\cos 2x) \cos x \, dx = 0$. प्रथम समाकल को $\frac{\pi}{4}$ पर विभाजित करें: $I = \int \limits_0^{\pi / 4} f(\sin 2x) \sin x \, dx + \int \limits_{\pi / 4}^{\pi / 2} f(\sin 2x) \sin x \, dx + \alpha \int \limits_0^{\pi / 4} f(\cos 2x) \cos x \, dx = 0$. प्रथम समाकल में,गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करें: $\int_0^{\pi / 4} f(\sin 2x) \sin x \, dx = \int_0^{\pi / 4} f(\cos 2x) \sin(\frac{\pi}{4}-x) \, dx$. द्वितीय समाकल में $x = \frac{\pi}{4} + t$ प्रतिस्थापन करने पर: $\int_{\pi / 4}^{\pi / 2} f(\sin 2x) \sin x \, dx = \int_0^{\pi / 4} f(\cos 2t) \sin(\frac{\pi}{4}+t) \, dt$. इन दोनों को जोड़ने पर: $\int_0^{\pi / 4} f(\cos 2x) [\sin(\frac{\pi}{4}-x) + \sin(\frac{\pi}{4}+x) + \alpha \cos x] \, dx = 0$. सूत्र $\sin(A-B) + \sin(A+B) = 2 \sin A \cos B$ का उपयोग करने पर: $\sin(\frac{\pi}{4}-x) + \sin(\frac{\pi}{4}+x) = \sqrt{2} \cos x$. अतः,$(\sqrt{2} + \alpha) \int_0^{\pi / 4} f(\cos 2x) \cos x \, dx = 0$. इस प्रकार,$\alpha = -\sqrt{2}$.

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$x > 0$ के लिए,यदि $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\log_{e} t}{1+t} dt$ है,तो $f(e) + f\left(\frac{1}{e}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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