यदि int_0^{frac{pi}{3}} cos^4 x , dx = api + | vedclass

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Question

(A) हम समाकलन $I = \int_0^{\pi/3} \cos^4 x \, dx$ का मूल्यांकन करते हैं।सर्वसमिका $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर,हमारे पास $\cos^

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$2$

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(A) हम समाकलन $I = \int_0^{\pi/3} \cos^4 x \, dx$ का मूल्यांकन करते हैं।सर्वसमिका $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर,हमारे पास $\cos^4 x = \left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}(1 + 2\cos 2x + \cos^2 2x)$ है।$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\cos^4 x = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\cos 4x = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x$ प्राप्त होता है।अब,प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:$I = \int_0^{\pi/3} \left(\frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x\right) dx$$I = \left[ \frac{3}{8}x + \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{32}\sin 4x \right]_0^{\pi/3}$$I = \left( \frac{3}{8} \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{1}{4}\sin\frac{2\pi}{3} + \frac{1}{32}\sin\frac{4\pi}{3} \right) - (0)$$I = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{32} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$I = \frac{\pi}{8} + \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\sqrt{3}}{64} = \frac{\pi}{8} + \frac{8\sqrt{3} - \sqrt{3}}{64} = \frac{\pi}{8} + \frac{7\sqrt{3}}{64}$.$a\pi + b\sqrt{3}$ के साथ तुलना करने पर,$a = \frac{1}{8}$ और $b = \frac{7}{64}$ प्राप्त होता है।अतः,$9a + 8b = 9(\frac{1}{8}) + 8(\frac{7}{64}) = \frac{9}{8} + \frac{7}{8} = \frac{16}{8} = 2$.

यदि $\int_0^{\frac{\pi}{3}} \cos^4 x \, dx = a\pi + b\sqrt{3}$ है,जहाँ $a$ और $b$ परिमेय संख्याएँ हैं,तो $9a + 8b$ का मान ज्ञात कीजिए:

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समीकरणों की प्रणाली $\int_{a}^{b} x^{3} dx = 0$ और $\int_{a}^{b} x^{2} dx = \frac{2}{3}$ को एक साथ संतुष्ट करने वाले क्रमित युग्मों $(a, b)$ की संख्या क्या है?

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$\int_0^2 \sqrt{\frac{2 + x}{2 - x}} \,dx = $

यदि $\int_{0}^{k} \frac{dx}{2 + 18x^2} = \frac{\pi}{24}$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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