यदि x=f(y) अवकल समीकरण (1+y^2)+(x-2 e^{tan ^{ | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(1+y^2)+(x-2 e^{	an ^{-1} y}) \frac{d y}{d x}=0$ है। पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{d x}{d y} = \frac{2 e^{	an ^{-1

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$e^{\pi / 6}$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण $(1+y^2)+(x-2 e^{	an ^{-1} y}) \frac{d y}{d x}=0$ है। पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{d x}{d y} = \frac{2 e^{	an ^{-1} y}-x}{1+y^2}$ प्राप्त होता है। इसे $\frac{d x}{d y} + \frac{x}{1+y^2} = \frac{2 e^{	an ^{-1} y}}{1+y^2}$ के रूप में लिखा जा सकता है। यह $\frac{d x}{d y} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ और $Q(y) = \frac{2 e^{	an ^{-1} y}}{1+y^2}$ है। समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{	an ^{-1} y}$ है। हल $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + C$ है। $x e^{	an ^{-1} y} = \int \frac{2 e^{	an ^{-1} y}}{1+y^2} \cdot e^{	an ^{-1} y} dy = \int \frac{2 e^{2 	an ^{-1} y}}{1+y^2} dy$. माना $t = 	an ^{-1} y$,तब $dt = \frac{1}{1+y^2} dy$. $x e^{	an ^{-1} y} = \int 2 e^{2t} dt = e^{2t} + C = e^{2 	an ^{-1} y} + C$. दिया गया है कि $f(0)=1$,अर्थात $y=0$ पर $x=1$: $1 \cdot e^{	an ^{-1} 0} = e^{2 	an ^{-1} 0} + C \implies 1 \cdot 1 = 1 + C \implies C = 0$. अतः,$x e^{	an ^{-1} y} = e^{2 	an ^{-1} y} \implies x = e^{	an ^{-1} y}$. $y = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$x = e^{	an ^{-1}(1/\sqrt{3})} = e^{\pi / 6}$.

यदि $x=f(y)$ अवकल समीकरण $(1+y^2)+(x-2 e^{\tan ^{-1} y}) \frac{d y}{d x}=0$,$y \in(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ का हल है और $f(0)=1$ है,तो $f(\frac{1}{\sqrt{3}})$ का मान ज्ञात कीजिए:

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यदि $y = f(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (\tan x - y) \sec^2 x$,$x \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ का हल है,और $y(0) = 0$ है,तो $y\left( -\frac{\pi}{4} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\cos x \frac{dy}{dx} - y \sin x = 6x$,जहाँ $0 < x < \frac{\pi}{2}$ और $y(\frac{\pi}{3}) = 0$ है,तो $y(\frac{\pi}{6})$ ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $y^{\prime} = \frac{1}{e^{-y} - x}$ का हल ज्ञात कीजिए।

$x \frac{dy}{dx} + 3y = x^2$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए।

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