यदि cos x frac{dy}{dx} - y sin x = 6x,जहाँ 0 | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos x \frac{dy}{dx} - y \sin x = 6x$. इसे गुणनफल के अवकलज के रूप में लिखा जा सकता है: $\frac{d}{dx}(y \cos x) = 6x$. दोनों

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$\frac{-\pi^2}{2 \sqrt{3}}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos x \frac{dy}{dx} - y \sin x = 6x$. इसे गुणनफल के अवकलज के रूप में लिखा जा सकता है: $\frac{d}{dx}(y \cos x) = 6x$. दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $y \cos x = \int 6x \, dx = 3x^2 + C$. प्रारंभिक शर्त $y(\frac{\pi}{3}) = 0$ का उपयोग करने पर: $0 \cdot \cos(\frac{\pi}{3}) = 3(\frac{\pi}{3})^2 + C \Rightarrow 0 = \frac{\pi^2}{3} + C \Rightarrow C = \frac{-\pi^2}{3}$. अतः,सामान्य हल $y \cos x = 3x^2 - \frac{\pi^2}{3}$ है। अब,$y(\frac{\pi}{6})$ ज्ञात करने के लिए,$x = \frac{\pi}{6}$ प्रतिस्थापित करने पर: $y(\frac{\pi}{6}) \cos(\frac{\pi}{6}) = 3(\frac{\pi}{6})^2 - \frac{\pi^2}{3}$. $y(\frac{\pi}{6}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3(\frac{\pi^2}{36}) - \frac{\pi^2}{3} = \frac{\pi^2}{12} - \frac{4\pi^2}{12} = \frac{-3\pi^2}{12} = \frac{-\pi^2}{4}$. इसलिए,$y(\frac{\pi}{6}) = \frac{-\pi^2}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{-\pi^2}{2 \sqrt{3}}$.

यदि $\cos x \frac{dy}{dx} - y \sin x = 6x$,जहाँ $0 < x < \frac{\pi}{2}$ और $y(\frac{\pi}{3}) = 0$ है,तो $y(\frac{\pi}{6})$ ज्ञात कीजिए।

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