रैखिक अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) | vedclass

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Question

(A) रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के लिए,समाकलन गुणक $(IF)$ को $IF = e^{\int P(x) dx}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।माना $u = e

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$\frac{dy}{dx} - P(x)y = 0$

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(A) रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के लिए,समाकलन गुणक $(IF)$ को $IF = e^{\int P(x) dx}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।माना $u = e^{\int P(x) dx}$ है।तब,$\frac{du}{dx} = e^{\int P(x) dx} \cdot \frac{d}{dx}(\int P(x) dx) = u \cdot P(x)$ है।इसका अर्थ है कि $\frac{du}{dx} - P(x)u = 0$ है।चूंकि समाकलन गुणक $u$ इस समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए सही विकल्प $\frac{dy}{dx} - P(x)y = 0$ है।

रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) किस अवकल समीकरण का हल है?

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अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \sin x$ का हल है

$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^3 - 3$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) है

माना $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\sin x \frac{dy}{dx}+y \cos x=4x, x \in(0, \pi)$ का हल है। यदि $y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ है,तो $y\left(\frac{\pi}{6}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $e^{y}\left(\frac{dy}{dx}-1\right)=e^{x}$ का हल है,जहाँ $y(0)=0,$ तो $y(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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