यदि lim _{t} {rightarrow 0}left(int_0^1(3 x+5 | vedclass

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Question

(C) माना $L = \lim _{t ightarrow 0}\left(\int_0^1(3 x+5)^t d xight)^{\frac{1}{t}}$. यह $1^{\infty}$ रूप है।सूत्र $\lim_{t 	o 0} f(t)^{g(t)} = e^{

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$64$

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(C) माना $L = \lim _{t ightarrow 0}\left(\int_0^1(3 x+5)^t d xight)^{\frac{1}{t}}$. यह $1^{\infty}$ रूप है।सूत्र $\lim_{t 	o 0} f(t)^{g(t)} = e^{\lim_{t 	o 0} g(t)(f(t)-1)}$ का उपयोग करने पर:$L = e^{\lim_{t 	o 0} \frac{1}{t} \left( \int_0^1 (3x+5)^t dx - 1 ight)}$.समाकलन करने पर: $\int_0^1 (3x+5)^t dx = \left[ \frac{(3x+5)^{t+1}}{3(t+1)} ight]_0^1 = \frac{8^{t+1} - 5^{t+1}}{3(t+1)}$.अतः,$L = e^{\lim_{t 	o 0} \frac{8^{t+1} - 5^{t+1} - 3(t+1)}{3t(t+1)}}$.$t 	o 0$ के लिए $L$'Hopital नियम का उपयोग करने पर: $\frac{8 \ln 8 - 5 \ln 5 - 3}{3}$.इसका सरलीकरण करने पर $\frac{64}{5e} \left( \frac{8}{5} ight)^{2/3}$ प्राप्त होता है।$\frac{\alpha}{5e} \left( \frac{8}{5} ight)^{2/3}$ से तुलना करने पर,$\alpha = 64$ प्राप्त होता है।

यदि $\lim _{t}$ ${\rightarrow 0}\left(\int_0^1(3 x+5)^t d x\right)^{\frac{1}{t}}=\frac{\alpha}{5 e}\left(\frac{8}{5}\right)^{\frac{2}{3}}$,तो $\alpha$ का मान . . . . . . है।

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