यदि $\alpha$ और $\beta$ इकाई के काल्पनिक घनमूल हैं,तो $\alpha^4 + \beta^4 + \frac{1}{\alpha\beta} = $

एक शून्येतर सम्मिश्र संख्या $z$ के लिए,मान लीजिए $\arg (z)$,$z$ का मुख्य कोणांक दर्शाता है,जहाँ $-\pi < \arg (z) \leq \pi$ है। मान लीजिए $\omega$ इकाई का घनमूल है जिसके लिए $0 < \arg (\omega) < \pi$ है। मान लीजिए $\alpha = \arg \left(\sum_{n=1}^{2025} (-\omega)^n\right)$ है। तो $\frac{3 \alpha}{\pi}$ का मान $.....$ है।

यदि $\theta = \frac{\pi}{6}$ है,तो श्रेणी $1 + (\cos \theta + i \sin \theta) + (\cos \theta + i \sin \theta)^2 + (\cos \theta + i \sin \theta)^3 + \ldots$ का $10$ वां पद क्या होगा?

यदि $1, \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_{n-1}$ इकाई के $n$ वें मूल हैं और $n$ एक सम प्राकृतिक संख्या है,तो $(1+\alpha_1)(1+\alpha_2) \ldots (1+\alpha_{n-1})=$

मान लीजिए $z = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right)^5 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right)^5$. यदि $R(z)$ और $I(z)$ क्रमशः $z$ के वास्तविक और काल्पनिक भागों को दर्शाते हैं,तो:

$12^{\text{th}}$ और $30^{\text{th}}$ इकाई के मूलों (roots of unity) के बीच उभयनिष्ठ मूलों की संख्या क्या है?