यदि a, b, c, d हरात्मक श्रेणी (H.P.) में हैं, | vedclass

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Question

(C) यदि $a, b, c, d$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं,तो उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}, \frac{1}{d}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ मे

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$(a)$ और $(b)$ दोनों

Vedclass · Answer

(C) यदि $a, b, c, d$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं,तो उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}, \frac{1}{d}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में होंगे।$H.P.$ में किन्हीं चार पदों के लिए,हम जानते हैं कि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी में हैं,इसलिए $b = \frac{2ac}{a+c}$। चूँकि $A.M. > H.M.$,हमारे पास $\frac{a+c}{2} > b$ है,जिसका अर्थ है $a+c > 2b$।इसी प्रकार,$b, c, d$ के $H.P.$ में होने के कारण,$b+d > 2c$।इन दो असमिकाओं को जोड़ने पर: $(a+c) + (b+d) > 2b + 2c$,जो सरल होकर $a+d > b+c$ हो जाता है। अतः,$(a)$ सत्य है।साथ ही,$a, b, c$ के $H.P.$ में होने के कारण,$ac > b^2$। $b, c, d$ के $H.P.$ में होने के कारण,$bd > c^2$।इनका गुणा करने पर: $(ac)(bd) > (b^2)(c^2)$,जो सरल होकर $ad > bc$ हो जाता है। अतः,$(b)$ सत्य है।इसलिए,$(a)$ और $(b)$ दोनों सही हैं।

यदि $a, b, c, d$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं,तो

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