यदि (x+iy)^{1/3} = a+ib जहाँ x, y, a, b in R | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $(x+iy)^{1/3} = a+ib$.दोनों पक्षों का घन करने पर,हमें प्राप्त होता है $x+iy = (a+ib)^3$.सर्वसमिका $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

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$-2(a^2+b^2)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $(x+iy)^{1/3} = a+ib$.दोनों पक्षों का घन करने पर,हमें प्राप्त होता है $x+iy = (a+ib)^3$.सर्वसमिका $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ का उपयोग करने पर,$x+iy = a^3 + 3a^2(ib) + 3a(ib)^2 + (ib)^3$.$x+iy = a^3 + 3a^2bi - 3ab^2 - ib^3$.वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग करने पर: $x+iy = (a^3 - 3ab^2) + i(3a^2b - b^3)$.वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर: $x = a^3 - 3ab^2$ और $y = 3a^2b - b^3$.क्रमशः $a$ और $b$ से विभाजित करने पर: $\frac{x}{a} = a^2 - 3b^2$ और $\frac{y}{b} = 3a^2 - b^2$.अतः,$\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = (a^2 - 3b^2) - (3a^2 - b^2) = a^2 - 3b^2 - 3a^2 + b^2 = -2a^2 - 2b^2 = -2(a^2+b^2)$.

यदि $(x+iy)^{1/3} = a+ib$ जहाँ $x, y, a, b \in R$ और $i = \sqrt{-1}$ है,तो $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = $

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