यदि int_{0}^{a} sqrt{frac{a - x}{x}} dx = fra | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{0}^{a} \sqrt{\frac{a - x}{x}} dx$ है। $x = a \sin^{2} 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2a \sin 	heta \cos 	heta d 	heta$ प्रा

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$\pi a$

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(D) माना $I = \int_{0}^{a} \sqrt{\frac{a - x}{x}} dx$ है। $x = a \sin^{2} 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2a \sin 	heta \cos 	heta d 	heta$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$,तो $	heta = 0$ और जब $x = a$,तो $	heta = \frac{\pi}{2}$। $I = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{\frac{a - a \sin^{2} 	heta}{a \sin^{2} 	heta}} (2a \sin 	heta \cos 	heta) d 	heta$ $I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos 	heta}{\sin 	heta} (2a \sin 	heta \cos 	heta) d 	heta$ $I = 2a \int_{0}^{\pi/2} \cos^{2} 	heta d 	heta$ सर्वसमिका $\cos^{2} 	heta = \frac{1 + \cos 2 	heta}{2}$ का उपयोग करने पर: $I = 2a \int_{0}^{\pi/2} \frac{1 + \cos 2 	heta}{2} d 	heta = a \int_{0}^{\pi/2} (1 + \cos 2 	heta) d 	heta$ $I = a [	heta + \frac{\sin 2 	heta}{2}]_{0}^{\pi/2} = a [(\frac{\pi}{2} + 0) - (0 + 0)] = \frac{\pi a}{2}$। दिया गया है कि $\int_{0}^{a} \sqrt{\frac{a - x}{x}} dx = \frac{K}{2}$,इसलिए $\frac{\pi a}{2} = \frac{K}{2}$। अतः,$K = \pi a$।

यदि $\int_{0}^{a} \sqrt{\frac{a - x}{x}} dx = \frac{K}{2}$ है,तो $K = . . . . . .$.

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