यदि (2+sin x) frac{dy}{dx}+(y+1) cos x=0 और y | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(2+\sin x) \frac{dy}{dx} + (y+1) \cos x = 0$. चरों को अलग करने पर: $\frac{1}{y+1} dy = -\frac{\cos x}{2+\sin x} dx$. दोनों

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$\frac{1}{3}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(2+\sin x) \frac{dy}{dx} + (y+1) \cos x = 0$. चरों को अलग करने पर: $\frac{1}{y+1} dy = -\frac{\cos x}{2+\sin x} dx$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{y+1} dy = -\int \frac{\cos x}{2+\sin x} dx$. इससे प्राप्त होता है: $\ln(y+1) = -\ln(2+\sin x) + C$. प्रारंभिक शर्त $y(0)=1$ का उपयोग करने पर: $\ln(1+1) = -\ln(2+\sin 0) + C \implies \ln 2 = -\ln 2 + C \implies C = 2\ln 2 = \ln 4$. $C$ का मान रखने पर: $\ln(y+1) = -\ln(2+\sin x) + \ln 4 = \ln\left(\frac{4}{2+\sin x}\right)$. दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $y+1 = \frac{4}{2+\sin x} \implies y = \frac{4}{2+\sin x} - 1$. अब,$x = \frac{\pi}{2}$ पर मान ज्ञात करने पर: $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{4}{2+\sin(\pi/2)} - 1 = \frac{4}{2+1} - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.

यदि $(2+\sin x) \frac{dy}{dx}+(y+1) \cos x=0$ और $y(0)=1$ है,तो $y\left(\frac{\pi}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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