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Question

(C) माना $x = \cos 	heta$ है। तब $	heta = \cos^{-1} x$ होगा। व्यंजक में $x = \cos 	heta$ रखने पर,हमें $\sqrt{\frac{1-\cos 	heta}{1+\cos 	heta}} =

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$\frac{1}{2}$

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(C) माना $x = \cos 	heta$ है। तब $	heta = \cos^{-1} x$ होगा। व्यंजक में $x = \cos 	heta$ रखने पर,हमें $\sqrt{\frac{1-\cos 	heta}{1+\cos 	heta}} = \sqrt{\frac{2\sin^2(	heta/2)}{2\cos^2(	heta/2)}} = 	an(	heta/2)$ प्राप्त होता है। अतः,व्यंजक $y = \sin^2 \left( \cot^{-1} (	an(	heta/2)) ight)$ बन जाता है। चूंकि $	an(	heta/2) = \cot(\frac{\pi}{2} - \frac{	heta}{2})$,इसलिए $y = \sin^2 \left( \cot^{-1} \left( \cot \left( \frac{\pi}{2} - \frac{	heta}{2} ight) ight) ight)$ प्राप्त होता है। इसका सरलीकरण $y = \sin^2 \left( \frac{\pi}{2} - \frac{	heta}{2} ight) = \cos^2(	heta/2)$ है। सर्वसमिका $\cos^2(	heta/2) = \frac{1+\cos 	heta}{2}$ का उपयोग करने पर,$y = \frac{1+x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{x}{2}$ प्राप्त होता है। अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} + \frac{x}{2} ight) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$।

यदि $y = \sin^2 \left( \cot^{-1} \left( \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \right) \right)$ है,तो $\frac{dy}{dx} = $

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$\tan \left(\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\sin \left\{ {{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{{1 - {x^2}}}{{2x}}} \right) + {{\cos }^{ - 1}}\left( {\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} \right) \right\}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $y = \cot^{-1} \left[ \frac{\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - \sin x}}{\sqrt{1 + \sin x} - \sqrt{1 - \sin x}} \right]$ है,तो $\frac{dy}{dx} = $

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