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Question

(A) दिया गया है $X = \{4^n - 3n - 1 : n \in N\}$ और $Y = \{9(n - 1) : n \in N\}$।द्विपद विस्तार के अनुसार,$4^n = (1 + 3)^n = 1 + n(3) + \frac{n(n-1)}{

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$X$

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(A) दिया गया है $X = \{4^n - 3n - 1 : n \in N\}$ और $Y = \{9(n - 1) : n \in N\}$।द्विपद विस्तार के अनुसार,$4^n = (1 + 3)^n = 1 + n(3) + \frac{n(n-1)}{2!} (3^2) + \dots + 3^n$।अतः,$4^n - 3n - 1 = 1 + 3n + \frac{9n(n-1)}{2} + \dots - 3n - 1 = \frac{9n(n-1)}{2} + \dots = 9 \left[ \frac{n(n-1)}{2} + \dots \right]$।यह दर्शाता है कि $X$ का प्रत्येक अवयव $9$ का गुणज है,और चूंकि $n(n-1)$ हमेशा सम होता है,$\frac{n(n-1)}{2}$ एक पूर्णांक है।इस प्रकार,$X \subseteq Y$।वैकल्पिक रूप से,मान रखने पर:$n=1$ के लिए,$X = \{4^1 - 3(1) - 1\} = \{0\}$।$n=2$ के लिए,$X = \{4^2 - 3(2) - 1\} = \{16 - 6 - 1\} = \{9\}$।$n=3$ के लिए,$X = \{4^3 - 3(3) - 1\} = \{64 - 9 - 1\} = \{54\}$।$X = \{0, 9, 54, \dots\}$।$Y = \{0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, \dots\}$।चूंकि $X$ के सभी अवयव $Y$ में हैं,इसलिए $X \cap Y = X$।

यदि $X = \{4^n - 3n - 1 : n \in N\}$ और $Y = \{9(n - 1) : n \in N\}$ है,तो $X \cap Y =$

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