જો $a, b, c$ ભિન્ન ધન સંખ્યાઓ હોય અને સદિશો $a \hat{\imath} + a \hat{\jmath} + c \hat{k}$,$\hat{\imath} + \hat{k}$ અને $c \hat{\imath} + c \hat{\jmath} + b \hat{k}$ એક જ સમતલમાં આવેલા હોય,તો

જો $\bar{a}$,$\bar{b}$,અને $\bar{c}$ અસમતલીય સદિશો હોય અને $(\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}) \cdot (\bar{a} \times \bar{b} + \bar{b} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a}) = k[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

ધારોકે $\overline{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\overline{b} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\overline{c} = x\hat{i} + (x - 2)\hat{j} - \hat{k}$. જો સદિશ $\overline{c}$ એ $\overline{a}$ અને $\overline{b}$ ના સમતલમાં આવેલો હોય,તો $x = \dots$

જો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ત્રણ અસમતલીય સદિશો હોય અને $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ ને $\vec{p} = \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{q} = \frac{\vec{c} \times \vec{a}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{r} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે, તો $[(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{p} + (\vec{b} + \vec{c}) \cdot \vec{q} + (\vec{c} + \vec{a}) \cdot \vec{r}]$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$,$\vec{b} = b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}$,અને $\vec{c} = c_1\hat{i} + c_2\hat{j} + c_3\hat{k}$ ત્રણ શૂન્યેતર સદિશો છે જેથી $\vec{c}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બંનેને લંબ એકમ સદિશ હોય. જો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{6}$ હોય,તો $\left| \begin{array}{ccc} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{array} \right|^2 = \dots$

જો $\hat{a}=\frac{1}{\sqrt{10}}(3 \hat{i}+\hat{k})$ અને $\hat{b}=\frac{1}{7}(2 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k})$ હોય,તો $(2 \hat{a}-\hat{b}) \cdot[(\hat{a} \times \hat{b}) \times(\hat{a}+2 \hat{b})]$ ની કિંમત શોધો.