જો $[(\overline{a}+2 \overline{b}+3 \overline{c}) \times(\overline{b}+2 \overline{c}+3 \overline{a})] \cdot(\overline{c}+2 \overline{a}+3 \overline{b})=54$ હોય,તો $[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]$ નું મૂલ્ય શોધો.

સમાંતર ષટ્ફલક (parallelepiped) સદિશો $\vec{a} = -2\hat{i} + 5\hat{j} + 3\hat{k}$, $\vec{b} = \hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$, અને $\vec{c} = -3\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}$ દ્વારા નિર્ધારિત છે. સદિશો $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ દ્વારા નિર્ધારિત સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ પાયા પર સમાંતર ષટ્ફલકની ઊંચાઈ છે

જો $a, b, c$ ભિન્ન ધન સંખ્યાઓ હોય અને સદિશો $a \hat{\imath} + a \hat{\jmath} + c \hat{k}$,$\hat{\imath} + \hat{k}$ અને $c \hat{\imath} + c \hat{\jmath} + b \hat{k}$ એક જ સમતલમાં આવેલા હોય,તો

જો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ અને $\vec{d}$ સ્થાન સદિશો ધરાવતા ચાર ભિન્ન બિંદુઓ સમતલીય હોય,તો $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ કોના બરાબર થાય?

જો $\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}$ અને $\vec{c} \times \vec{a}$ ધારવાળા સમાંતરફલકનું ઘનફળ $9 \text{ ઘન એકમ}$ હોય, તો $(\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{b} \times \vec{c}),(\vec{b} \times \vec{c}) \times(\vec{c} \times \vec{a})$ અને $(\vec{c} \times \vec{a}) \times(\vec{a} \times \vec{b})$ ધારવાળા સમાંતરફલકનું ઘનફળ કેટલું થાય ($\text{ ઘન એકમ}$ માં)?

જો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ અસમતલીય સદિશો હોય,તો $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\vec{a} \cdot \vec{a}} & {\vec{a} \cdot \vec{b}} & {\vec{a} \cdot \vec{c}} \\ {\vec{b} \cdot \vec{a}} & {\vec{b} \cdot \vec{b}} & {\vec{b} \cdot \vec{c}} \\ {\vec{c} \cdot \vec{a}} & {\vec{c} \cdot \vec{b}} & {\vec{c} \cdot \vec{c}} \end{array}} \right| = \dots$