यदि $A = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 7 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा गुण सत्य है?

सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके और बिना विस्तार किए सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{lll}a-b & b-c & c-a \\ b-c & c-a & a-b \\ c-a & a-b & b-c\end{array}\right|=0$

यदि $\left| \begin{array}{ccc} y + z & x & y \\ z + x & z & x \\ x + y & y & z \end{array} \right| = k(x + y + z)(x - z)^2$ है,तो $k = $

सारणिक का विस्तार किए बिना,सिद्ध कीजिए कि $\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & b c \\ b & b^{2} & c a \\ c & c^{2} & a b\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}1 & a^{2} & a^{3} \\ 1 & b^{2} & b^{3} \\ 1 & c^{2} & c^{3}\end{array}\right|$

शून्यतर,वास्तविक $a, b$ और $c$ के लिए,यदि $\left| \begin{array}{ccc} \frac{a^2+b^2}{c} & c & c \\ a & \frac{b^2+c^2}{a} & a \\ b & b & \frac{c^2+a^2}{b} \end{array} \right| = \alpha abc$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $D_1 = \begin{vmatrix} a & b & a+b \\ c & d & c+d \\ a & b & a-b \end{vmatrix}$ और $D_2 = \begin{vmatrix} a & c & a+c \\ b & d & b+d \\ a & c & a+b+c \end{vmatrix}$ है। तो $\frac{D_1}{D_2}$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $b \neq 0$ और $ad \neq bc$ है।