यदि $A$ और $B$ दो निश्चित बिंदु हैं और $P$ एक चर बिंदु इस प्रकार है कि $PA + PB = 4$,तो $P$ का बिंदुपथ क्या है?

दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{400}=1$ के लिए नाभियों के निर्देशांक,शीर्षों,दीर्घ अक्ष की लंबाई,लघु अक्ष की लंबाई,उत्केंद्रता और नाभिलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ पर बिंदुओं $P$ और $Q$ पर स्पर्श रेखाएं बिंदु $R(\sqrt{2}, 2\sqrt{2}-2)$ पर मिलती हैं। यदि $S$ दीर्घवृत्त का उसके ऋणात्मक मुख्य अक्ष पर स्थित नाभि है,तो $SP^{2} + SQ^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना एक दीर्घवृत्त $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a^{2}>b^{2}$,बिंदु $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, 1\right)$ से होकर गुजरता है और इसकी उत्केंद्रता $e = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है। यदि $E$ की नाभि $F(\alpha, 0), \alpha > 0$ पर केंद्रित और $\frac{2}{\sqrt{3}}$ त्रिज्या वाला एक वृत्त,$E$ को दो बिंदुओं $P$ और $Q$ पर काटता है,तो $PQ^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $P$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ पर एक बिंदु है। मान लीजिए $P$ से गुजरने वाली और $y$-अक्ष के समानांतर रेखा वृत्त $x^2+y^2=9$ को बिंदु $Q$ पर इस प्रकार मिलती है कि $P$ और $Q$ $x$-अक्ष के एक ही तरफ हैं। तब,$PQ$ पर स्थित बिंदु $R$ के बिंदुपथ की उत्केंद्रता,जहाँ $PR:RQ=4:3$ है,जैसे-जैसे $P$ दीर्घवृत्त पर चलता है,क्या होगी:

$a$ और $b$ एक दीर्घवृत्त के अर्ध-दीर्घ और अर्ध-लघु अक्ष हैं जिसके अक्ष निर्देशांक अक्षों के अनुदिश हैं। यदि इसके नाभिलंब (latus rectum) की लंबाई $4$ इकाई है और इसकी नाभियों के बीच की दूरी $4 \sqrt{2}$ है,तो $a^2+b^2=$