यदि $l, m$ समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ के किन्हीं दो तत्वों (समान या भिन्न) का प्रतिनिधित्व करते हैं,तो सभी $x \in R$ के लिए $lx^2 + mx + 1 > 0$ होने की प्रायिकता क्या है?

समुच्चय $S = \{1, 2, 3, \ldots, 100\}$ से तीन संख्याएँ यादृच्छिक रूप से,एक के बाद एक प्रतिस्थापन के साथ चुनी जाती हैं। मान लीजिए $p_1$ वह प्रायिकता है कि चुनी गई संख्याओं का अधिकतम मान कम से कम $81$ है और $p_2$ वह प्रायिकता है कि चुनी गई संख्याओं का न्यूनतम मान अधिकतम $40$ है।
$(1)$ $\frac{625}{4} p_1$ का मान क्या है?
$(2)$ $\frac{125}{4} p_2$ का मान क्या है?

यदि $S$ एक यादृच्छिक प्रयोग $\xi$ का प्रतिदर्श समष्टि है और $P$ एक प्रायिकता फलन है जो $S$ के घात समुच्चय $\mathcal{P}(S)$ पर परिभाषित है,तो निम्नलिखित में से कौन सा $P$ द्वारा संतुष्ट नहीं होता है?
$(i)$ $P(\phi) = 0$
(ii) यदि $E^c$,$E$ की पूरक घटना है,तो $P(E^c) = 1 - P(E)$
(iii) $0 \leq P(E) \leq 1, \forall E \subseteq S$
(iv) यदि $E_1 \subseteq E_2$,तो $P(E_2) \leq P(E_1)$

$1$ से $100$ तक की संख्याओं में से दो प्राकृतिक संख्याएँ यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं और उनका गुणा किया जाता है। यदि $A$ वह घटना है कि गुणनफल एक सम संख्या है और $B$ वह घटना है कि गुणनफल $4$ से विभाज्य है,तो $P(A \cap \bar{B})=$

एक बैटरी निर्माण कारखाने में, मशीनें $P$, $Q$ और $R$ कुल उत्पादन का क्रमशः $20 \%$, $30 \%$ और $50 \%$ निर्माण करती हैं। इन मशीनों द्वारा दोषपूर्ण बैटरी बनने की संभावना क्रमशः $1 \%$, $1.5 \%$ और $2 \%$ है। यदि उत्पादन से यादृच्छिक रूप से एक बैटरी चुनी जाती है, तो उसके दोषपूर्ण होने की प्रायिकता क्या है?

यदि एक व्यक्ति पासा तब तक फेंकता है जब तक उसे $3$ से बड़ी संख्या न मिल जाए, तो उसके अंतिम प्रयास में $5$ प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?