यदि alpha, beta, gamma समीकरण x^3-12x^2+kx-18 | vedclass

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Question

(D) माना मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं। दिए गए समीकरण $x^3-12x^2+kx-18=0$ से,हमारे पास संबंध हैं: $\alpha+\beta+\gamma = 12$ $\alpha\beta+\beta\gamm

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$57$

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(D) माना मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं। दिए गए समीकरण $x^3-12x^2+kx-18=0$ से,हमारे पास संबंध हैं: $\alpha+\beta+\gamma = 12$ $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = k$ $\alpha\beta\gamma = 18$ दिया गया है कि एक मूल अन्य दो मूलों के योग का तीन गुना है,माना $\alpha = 3(\beta+\gamma)$। इसे मूलों के योग में प्रतिस्थापित करने पर: $\alpha + \frac{\alpha}{3} = 12 \implies \frac{4\alpha}{3} = 12 \implies \alpha = 9$। तब $\beta+\gamma = 3$ और $\beta\gamma = \frac{18}{\alpha} = \frac{18}{9} = 2$। हमें $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-k$ ज्ञात करना है। हम जानते हैं कि $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = 12^2 - 2k = 144 - 2k$। अतः,$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-k = 144 - 2k - k = 144 - 3k$। चूंकि $\beta+\gamma=3$ और $\beta\gamma=2$,मूल $\beta$ और $\gamma$ समीकरण $t^2-3t+2=0$ के मूल हैं,जो $1$ और $2$ हैं। $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = k$ का उपयोग करके,हमें $k = 9(3) + 2 = 27 + 2 = 29$ प्राप्त होता है। अंत में,$144 - 3(29) = 144 - 87 = 57$।

यदि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3-12x^2+kx-18=0$ के मूल हैं और उनमें से एक मूल अन्य दो मूलों के योग का तीन गुना है,तो $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-k=$

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