यदि |x|

Question

(D) हमारे पास व्यंजक $\frac{1+2x}{(1-2x)^2} = (1+2x)(1-2x)^{-2}$ है।ऋणात्मक घातांक के लिए द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$(1-y)^{-n} = \sum_{k=0}^{\

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$(2r+1) 2^r$

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(D) हमारे पास व्यंजक $\frac{1+2x}{(1-2x)^2} = (1+2x)(1-2x)^{-2}$ है।ऋणात्मक घातांक के लिए द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$(1-y)^{-n} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+k-1}{k} y^k$।$(1-2x)^{-2}$ के लिए,$n=2$ और $y=2x$ लेने पर,$(1-2x)^{-2} = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) 2^k x^k$ प्राप्त होता है।अब,$(1+2x)$ से गुणा करने पर:$(1+2x) \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) 2^k x^k = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) 2^k x^k + \sum_{k=0}^{\infty} 2(k+1) 2^k x^{k+1}$।$x^r$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,पहले योग से $k=r$ वाला पद और दूसरे योग से $k+1=r$ (अर्थात $k=r-1$) वाला पद लेने पर:$x^r$ का गुणांक $= (r+1) 2^r + 2((r-1)+1) 2^{r-1}$।$= (r+1) 2^r + 2(r) 2^{r-1} = (r+1) 2^r + r 2^r$।$= (r+1+r) 2^r = (2r+1) 2^r$।

यदि $|x| < \frac{1}{2}$ है,तो $\frac{1+2x}{(1-2x)^2}$ के विस्तार में $x^r$ का गुणांक क्या है?

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