यदि (1+x+x^2+x^3)^5 = sum_{k=0}^{15} a_k x^k | vedclass

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Question

(C) दिया गया है,$(1+x+x^2+x^3)^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$. इस व्यंजक को $(1+x)^5(1+x^2)^5$ के रूप में लिखा जा सकता है। माना $f(x) = (1+x)^5(1+x^2)^5

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$512$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है,$(1+x+x^2+x^3)^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$. इस व्यंजक को $(1+x)^5(1+x^2)^5$ के रूप में लिखा जा सकता है। माना $f(x) = (1+x)^5(1+x^2)^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$. हमें $\sum_{k=0}^7 a_{2k} = a_0 + a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10} + a_{12} + a_{14}$ का मान ज्ञात करना है। $f(1) = \sum_{k=0}^{15} a_k = (1+1)^5(1+1^2)^5 = 2^5 	imes 2^5 = 1024$. और $f(-1) = \sum_{k=0}^{15} a_k (-1)^k = (1-1)^5(1+(-1)^2)^5 = 0$. अतः,$f(1) + f(-1) = 2(a_0 + a_2 + a_4 + \dots + a_{14}) = 1024$. इस प्रकार,$a_0 + a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10} + a_{12} + a_{14} = \frac{1024}{2} = 512$.

यदि $(1+x+x^2+x^3)^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$ है,तो $\sum_{k=0}^7 a_{2k}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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