यदि (1+x)^{15}=a_0+a_1 x+ldots+a_{15} x^{15} | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $(1+x)^{15} = \sum_{r=0}^{15} {}^{15}C_r x^r = a_0 + a_1 x + \ldots + a_{15} x^{15}$।गुणांकों की तुलना करने पर,$a_r = {}^{15}C_r$ प

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$120$

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(C) दिया गया है कि $(1+x)^{15} = \sum_{r=0}^{15} {}^{15}C_r x^r = a_0 + a_1 x + \ldots + a_{15} x^{15}$।गुणांकों की तुलना करने पर,$a_r = {}^{15}C_r$ प्राप्त होता है।हमें $\sum_{r=1}^{15} r \frac{a_r}{a_{r-1}}$ का मान ज्ञात करना है।गुणधर्म $\frac{{}^{n}C_r}{{}^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर,$\frac{a_r}{a_{r-1}} = \frac{15-r+1}{r} = \frac{16-r}{r}$ प्राप्त होता है।अतः,$r \frac{a_r}{a_{r-1}} = r \cdot \frac{16-r}{r} = 16-r$।इसलिए,$\sum_{r=1}^{15} (16-r) = (16-1) + (16-2) + \ldots + (16-15) = 15 + 14 + \ldots + 1$।यह प्रथम $15$ प्राकृतिक संख्याओं का योग है: $\frac{15(15+1)}{2} = \frac{15 	imes 16}{2} = 15 	imes 8 = 120$।

यदि $(1+x)^{15}=a_0+a_1 x+\ldots+a_{15} x^{15}$ है,तो $\sum_{r=1}^{15} r \frac{a_r}{a_{r-1}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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