यदि $(1,2)$ नाभि (focus) है,$x+2y=0$ नियता (directrix) है और $\sqrt{2}$ अतिपरवलय (hyperbola) की उत्केंद्रता (eccentricity) है,तो अतिपरवलय का समीकरण क्या होगा?

एक अतिपरवलय की नाभियाँ $(\pm 2, 0)$ हैं और इसकी उत्केंद्रता $\frac{3}{2}$ है। अतिपरवलय पर प्रथम चतुर्थांश में स्थित एक बिंदु पर रेखा $2x + 3y = 6$ के लंबवत एक स्पर्श रेखा खींची गई है। यदि स्पर्श रेखा द्वारा $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर बनाए गए अंतःखंड क्रमशः $a$ और $b$ हैं,तो $|6a| + |5b|$ का मान $..........$ है।

यदि $l$,$-3x^2+4x+1$ का अधिकतम मान है और $m$,$3x^2+4x+1$ का न्यूनतम मान है,तो $(l, 0)$ और $(7m, 0)$ पर नाभियों वाले और उत्केंद्रता $e=2$ वाले अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए।

यदि $e_{1}$ और $e_{2}$ क्रमशः वक्रों $16x^{2}-9y^{2}=144$ और $9x^{2}-16y^{2}=144$ की उत्केंद्रता (eccentricity) को दर्शाते हैं,तो $\frac{1}{e_{1}^{2}}+\frac{1}{e_{2}^{2}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि आयताकार अतिपरवलय $x^2-y^2=1$ के बिंदु $P$ (जहाँ प्राचल $\theta_1 = \frac{\pi}{4}$) पर अभिलंब वक्र को पुनः $Q$ (जहाँ प्राचल $\theta_2$) पर मिलता है,तो $\sec^2 \theta_2 + \tan \theta_2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि एक अतिपरवलय (hyperbola) की नाभियाँ दीर्घवृत्त (ellipse) $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$ की नाभियों के समान हैं और अतिपरवलय की उत्केंद्रता (eccentricity),दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता की $\frac{15}{8}$ गुनी है,तो अतिपरवलय पर स्थित बिंदु $\left(\sqrt{2}, \frac{14}{3} \sqrt{\frac{2}{5}}\right)$ की छोटी नाभीय दूरी किसके बराबर है?