यदि आयताकार अतिपरवलय x^2-y^2=1 के बिंदु P (जह | vedclass

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Question

(B) आयताकार अतिपरवलय का समीकरण $x^2 - y^2 = 1$ है,जहाँ $a=1$ और $b=1$ है। अतिपरवलय पर बिंदु $P(	heta)$ के निर्देशांक $(\sec 	heta, 	an 	heta)$ हैं

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(B) आयताकार अतिपरवलय का समीकरण $x^2 - y^2 = 1$ है,जहाँ $a=1$ और $b=1$ है। अतिपरवलय पर बिंदु $P(	heta)$ के निर्देशांक $(\sec 	heta, 	an 	heta)$ हैं। $	heta_1 = \frac{\pi}{4}$ पर,बिंदु $P$ $(\sec \frac{\pi}{4}, 	an \frac{\pi}{4}) = (\sqrt{2}, 1)$ है। स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \sin 	heta$ है। $P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है। $P$ पर अभिलंब की ढाल $-\sqrt{2}$ है। $P(\sqrt{2}, 1)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 1 = -\sqrt{2}(x - \sqrt{2})$ अर्थात $y = -\sqrt{2}x + 3$ है। इसे अतिपरवलय के समीकरण में रखने पर: $x^2 - (-\sqrt{2}x + 3)^2 = 1$ $x^2 - 6\sqrt{2}x + 10 = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि मूल $x_1 = \sqrt{2}$ है,मूलों का गुणनफल $x_1 x_2 = 10$,इसलिए $x_2 = 5\sqrt{2}$ है। बिंदु $Q$ के लिए,$x_2 = \sec 	heta_2 = 5\sqrt{2}$ है। अतः $	an^2 	heta_2 = \sec^2 	heta_2 - 1 = 50 - 1 = 49$,इसलिए $	an 	heta_2 = 7$ है। इस प्रकार,$\sec^2 	heta_2 + 	an 	heta_2 = 50 + 7 = 57$ है।

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