જો $x=\alpha, y=\beta, z=\gamma$ એ સમીકરણ સંહતિ:
$\begin{aligned} 2x-y+8z &= 13 \\ 3x+4y+5z &= 18 \\ 5x-2y+7z &= 20 \end{aligned}$
નો ઉકેલ હોય,તો $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=$ શોધો.

સમીકરણોની સિસ્ટમ $x + ky - z = 0$,$3x - ky - z = 0$,અને $x - 3y + z = 0$ માટે $k =$ હોય ત્યારે શૂન્યતર ઉકેલ મળે છે.

ત્રણ સંખ્યાઓનો સરવાળો $6$ છે. જો આપણે ત્રીજી સંખ્યાને $3$ વડે ગુણીએ અને તેમાં બીજી સંખ્યા ઉમેરીએ,તો આપણને $11$ મળે છે. પ્રથમ અને ત્રીજી સંખ્યાનો સરવાળો કરવાથી,આપણને બીજી સંખ્યાના બમણા મળે છે. આને બૈજિક રીતે દર્શાવો અને શ્રેણિક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યાઓ શોધો.

ધારો કે $A.P.$ ના કોઈપણ ત્રણ અલગ-અલગ ક્રમિક પદો $a, b, c$ માટે,રેખાઓ $ax + by + c = 0$ બિંદુ $P$ પર સંગામી છે અને $Q(\alpha, \beta)$ એક એવું બિંદુ છે કે જેથી સમીકરણોની સંહતિ $x + y + z = 6$,$2x + 5y + \alpha z = \beta$ અને $x + 2y + 3z = 4$ ને અનંત ઉકેલો છે. તો $(PQ)^2$ બરાબર . . . . . . છે.

જો ત્રણ અજ્ઞાત ધરાવતી ત્રણ સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ,જે $AX = D$ ના મેટ્રિક્સ સમીકરણ સ્વરૂપમાં છે,તે અસંગત (inconsistent) હોય,તો $\frac{\text{rank of } A}{\text{rank of } AD}$ શું થાય?

એક સુરેખ સમીકરણ સંહતિ માટે, જો $A X=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right]$, $\operatorname{Adj} A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]$ અને $\operatorname{det} A>0$ હોય, તો $X=$