यदि e^{f(x)}=frac{10+x}{10-x}, x in(-10,10) औ | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $e^{f(x)}=\frac{10+x}{10-x}$।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर,हमें प्राप्त होता है $f(x)=\log \left(\frac{

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$0.5$

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(A) दिया गया है $e^{f(x)}=\frac{10+x}{10-x}$।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर,हमें प्राप्त होता है $f(x)=\log \left(\frac{10+x}{10-x}\right)$।हमें संबंध $f(x)=k f\left(\frac{200 x}{100+x^2}\right)$ दिया गया है।दोनों पक्षों में $f(x)$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर:$\log \left(\frac{10+x}{10-x}\right) = k \log \left(\frac{10+\frac{200 x}{100+x^2}}{10-\frac{200 x}{100+x^2}}\right)$।दाहिनी ओर के लघुगणक के तर्क को सरल करने पर:$\frac{10+\frac{200 x}{100+x^2}}{10-\frac{200 x}{100+x^2}} = \frac{10(100+x^2)+200x}{10(100+x^2)-200x} = \frac{1000+10x^2+200x}{1000+10x^2-200x} = \frac{10(x^2+20x+100)}{10(x^2-20x+100)} = \frac{(x+10)^2}{(10-x)^2}$।अतः,समीकरण इस प्रकार हो जाता है:$\log \left(\frac{10+x}{10-x}\right) = k \log \left(\frac{(x+10)^2}{(10-x)^2}\right)$।गुणधर्म $\log(a^n) = n \log a$ का उपयोग करने पर:$\log \left(\frac{10+x}{10-x}\right) = 2k \log \left(\frac{10+x}{10-x}\right)$।दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $2k = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $k = 0.5$।

यदि $e^{f(x)}=\frac{10+x}{10-x}, x \in(-10,10)$ और $f(x)=k f\left(\frac{200 x}{100+x^2}\right)$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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