જો $f(x) = \begin{cases} ax^2 - bx + 2, & x < 3 \\ bx^2 - 3, & x \geq 3 \end{cases}$ એ દરેક $x \in R$ માટે વિકલનીય હોય,તો રેખા $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ દ્વારા યામ અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું થાય?

વિધેય $f:(-\infty, \infty) \rightarrow(-\infty, \infty)$ ધ્યાનમાં લો,જે $f(x)=\frac{x^2-a x+1}{x^2+a x+1}, 0 < a < 2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
$1.$ નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?
$(A)$ $(2+a)^2 f^{\prime \prime}(1)+(2-a)^2 f^{\prime \prime}(-1)=0$
$(B)$ $(2-a)^2 f^{\prime}(1)-(2+a)^2 f^{\prime \prime}(-1)=0$
$(C)$ $f^{\prime}(1) f^{\prime}(-1)=(2-a)^2$
$(D)$ $f^{\prime}(1) f^{\prime}(-1)=-(2+a)^2$
$2.$ નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?
$(A)$ $f(x)$ એ $(-1,1)$ પર ઘટતું વિધેય છે અને $x=1$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે
$(B)$ $f(x)$ એ $(-1,1)$ પર વધતું વિધેય છે અને $x=1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે
$(C)$ $f(x)$ એ $(-1,1)$ પર વધતું વિધેય છે પરંતુ $x=1$ આગળ ન તો સ્થાનિક મહત્તમ કે ન તો સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે
$(D)$ $f(x)$ એ $(-1,1)$ પર ઘટતું વિધેય છે પરંતુ $x=1$ આગળ ન તો સ્થાનિક મહત્તમ કે ન તો સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે
$3.$ ધારો કે $g(x)=\int_0^{e^x} \frac{f^{\prime}(t)}{1+t^2} d t$. નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?
$(A)$ $g^{\prime}(x)$ એ $(-\infty, 0)$ પર ધન અને $(0, \infty)$ પર ઋણ છે
$(B)$ $g^{\prime}(x)$ એ $(-\infty, 0)$ પર ઋણ અને $(0, \infty)$ પર ધન છે
$(C)$ $g^{\prime}(x)$ એ $(-\infty, 0)$ અને $(0, \infty)$ બંને પર ચિહ્ન બદલે છે
$(D)$ $g^{\prime}(x)$ એ $(-\infty, \infty)$ પર ચિહ્ન બદલતું નથી
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.

$f(x) = \begin{cases} |x - 3|, & x \ge 1 \\ \frac{1}{4}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{13}{4}, & x < 1 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય શું છે?

ધારો કે $f(x) = (\sin(\tan^{-1} x) + \sin(\cot^{-1} x))^2 - 1$ જ્યાં $|x| > 1$. જો $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{d}{dx}(\sin^{-1}(f(x)))$ અને $y(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$ હોય,તો $y(-\sqrt{3})$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ નીચે મુજબ આપેલ છે:
$f(x) = \begin{cases} x^5+5x^4+10x^3+10x^2+3x+1, & x < 0 \\ x^2-x+1, & 0 \leq x < 1 \\ \frac{2}{3}x^3-4x^2+7x-\frac{8}{3}, & 1 \leq x < 3 \\ (x-2)\log_e(x-2)-x+\frac{10}{3}, & x \geq 3 \end{cases}$
તો નીચેનામાંથી કયા વિકલ્પો સાચા છે?
$(1)$ $f^{\prime}$ ને $x = 1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય છે
$(2)$ $f$ વ્યાપ્ત (onto) છે
$(3)$ $f$ એ $(-\infty, 0)$ પર વધતું વિધેય છે
$(4)$ $f^{\prime}$ એ $x = 1$ આગળ વિકલનીય નથી

નીચેનામાંથી કયું વિધાન અસત્ય છે?