यदि int e^{sin x}(1+sec x tan x) d x=e^{sin x | vedclass

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Question

(C) दिया गया समाकलन $\int e^{\sin x}(1+\sec x 	an x) d x = e^{\sin x} f(x) + c$ है। माना $I = \int e^{\sin x}(1+\sec x 	an x) d x$ है। हम समाकल्य को

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(C) दिया गया समाकलन $\int e^{\sin x}(1+\sec x 	an x) d x = e^{\sin x} f(x) + c$ है। माना $I = \int e^{\sin x}(1+\sec x 	an x) d x$ है। हम समाकल्य को $e^{\sin x} + e^{\sin x} \sec x 	an x$ के रूप में लिख सकते हैं। $e^{\sin x} f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d}{dx} [e^{\sin x} f(x)] = e^{\sin x} \cos x f(x) + e^{\sin x} f'(x) = e^{\sin x} (f'(x) + f(x) \cos x)$। इसकी तुलना समाकल्य $e^{\sin x}(1+\sec x 	an x)$ से करने पर,हमें $f'(x) + f(x) \cos x = 1 + \sec x 	an x$ प्राप्त होता है। निरीक्षण द्वारा,यदि $f(x) = \sec x$ है,तो $f'(x) = \sec x 	an x$ होगा। इस मान को समीकरण में रखने पर: $\sec x 	an x + \sec x \cos x = \sec x 	an x + 1$। यह समाकल्य से मेल खाता है। अतः,$f(x) = \sec x$ है। हमें $0 \leq x \leq 2 \pi$ में $f(x) = 1$ के लिए हलों की संख्या ज्ञात करनी है। $\sec x = 1 \implies \cos x = 1$। अंतराल $[0, 2 \pi]$ में,$\cos x = 1$ का मान $x = 0$ और $x = 2 \pi$ पर होता है। अतः,कुल $2$ हल प्राप्त होते हैं।

यदि $\int e^{\sin x}(1+\sec x \tan x) d x=e^{\sin x} f(x)+c$ है,तो $0 \leq x \leq 2 \pi$ में $f(x)=1$ के हलों की संख्या क्या है?

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यदि $\int e^x(\sin^2 2x - 8 \cos 4x) dx = e^x f(x) + c$ है, तो $f(\frac{\pi}{4}) = $

$\int e^x \left( \frac{2 + \sin 2x}{1 + \cos 2x} \right) dx = $

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