int left( frac{log x - 1}{1 + (log x)^2} righ | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \left( \frac{\log x - 1}{1 + (\log x)^2} \right)^2 dx$ है। $t = \log x$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होत

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{x}{1 + (\log x)^2} + C$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int \left( \frac{\log x - 1}{1 + (\log x)^2} \right)^2 dx$ है। $t = \log x$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है। $I = \int e^t \frac{(t - 1)^2}{(1 + t^2)^2} dt = \int e^t \frac{t^2 - 2t + 1}{(1 + t^2)^2} dt$। $I = \int e^t \left( \frac{t^2 + 1 - 2t}{(1 + t^2)^2} \right) dt = \int e^t \left( \frac{1}{1 + t^2} - \frac{2t}{(1 + t^2)^2} \right) dt$। सूत्र $\int e^t [f(t) + f'(t)] dt = e^t f(t) + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(t) = \frac{1}{1 + t^2}$ और $f'(t) = -\frac{2t}{(1 + t^2)^2}$ है। अतः,$I = e^t \left( \frac{1}{1 + t^2} \right) + C = \frac{x}{1 + (\log x)^2} + C$।

$\int \left( \frac{\log x - 1}{1 + (\log x)^2} \right)^2 dx = $

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$\int e^{x}\left(\frac{2}{x}-\frac{2}{x^2}\right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \left[\frac{1-\log x}{1+(\log x)^{2}}\right]^{2} dx = $

$\int \left( \frac{x^2+1}{(x+1)^2} \right) e^x \, dx = \text{ . . . . . . }$.

$\int e^x \left( \log x + \frac{1}{x} \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(t) = \int \left( \frac{1 - \sin(\ln t)}{1 - \cos(\ln t)} \right) dt$, $t > 1$ के लिए। यदि $f(e^{\pi/2}) = -e^{\pi/2}$ और $f(e^{\pi/4}) = \alpha e^{\pi/4}$ है, तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

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