मान लीजिए f(t) = int left( frac{1 - sin(ln t) | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $\ln t = x$, तो $t = e^x$ और $dt = e^x dx$ होगा। समाकलन में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:$f(t) = \int \frac{1 - \sin x}{1 - \cos x}

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$-1 - \sqrt{2}$

Vedclass · Answer

(A) मान लीजिए $\ln t = x$, तो $t = e^x$ और $dt = e^x dx$ होगा। समाकलन में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:$f(t) = \int \frac{1 - \sin x}{1 - \cos x} e^x dx = \int \frac{1 - 2\sin(x/2)\cos(x/2)}{2\sin^2(x/2)} e^x dx$$f(t) = \int \left( \frac{1}{2}\csc^2(x/2) - \cot(x/2) \right) e^x dx$सर्वसमिका $\int e^x (g(x) + g'(x)) dx = e^x g(x) + C$ का उपयोग करने पर, जहाँ $g(x) = -\cot(x/2)$ और $g'(x) = \frac{1}{2}\csc^2(x/2)$ है:$f(t) = -e^x \cot(x/2) + C = -t \cot(\frac{\ln t}{2}) + C$दिया गया है कि $f(e^{\pi/2}) = -e^{\pi/2} \cot(\pi/4) + C = -e^{\pi/2} + C = -e^{\pi/2}$, इसलिए $C = 0$ है।अतः, $f(t) = -t \cot(\frac{\ln t}{2})$ है।$f(e^{\pi/4}) = -e^{\pi/4} \cot(\pi/8) = -e^{\pi/4} (\sqrt{2} + 1)$ है।$f(e^{\pi/4}) = \alpha e^{\pi/4}$ से तुलना करने पर, हमें $\alpha = -(1 + \sqrt{2}) = -1 - \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

मान लीजिए $f(t) = \int \left( \frac{1 - \sin(\ln t)}{1 - \cos(\ln t)} \right) dt$, $t > 1$ के लिए। यदि $f(e^{\pi/2}) = -e^{\pi/2}$ और $f(e^{\pi/4}) = \alpha e^{\pi/4}$ है, तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

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