int left[frac{1-log x}{1+(log x)^{2}}right]^{ | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int \left[\frac{1-\log x}{1+(\log x)^{2}}\right]^{2} dx$.$\log x = t$ रखने पर,$x = e^{t}$,अतः $dx = e^{t} dt$ प्राप्त होता है।इन मानों

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$\frac{x}{1+(\log x)^{2}}+c$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int \left[\frac{1-\log x}{1+(\log x)^{2}}\right]^{2} dx$.$\log x = t$ रखने पर,$x = e^{t}$,अतः $dx = e^{t} dt$ प्राप्त होता है।इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,$I = \int e^{t} \left[\frac{1-t}{1+t^{2}}\right]^{2} dt$.वर्ग का विस्तार करने पर,$I = \int e^{t} \frac{1+t^{2}-2t}{(1+t^{2})^{2}} dt = \int e^{t} \left[\frac{1}{1+t^{2}} - \frac{2t}{(1+t^{2})^{2}}\right] dt$.मानक समाकलन सूत्र $\int e^{t} [f(t) + f'(t)] dt = e^{t} f(t) + c$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(t) = \frac{1}{1+t^{2}}$ और $f'(t) = -\frac{2t}{(1+t^{2})^{2}}$.अतः,$I = e^{t} \left(\frac{1}{1+t^{2}}\right) + c$.$t = \log x$ वापस रखने पर,$I = \frac{x}{1+(\log x)^{2}} + c$ प्राप्त होता है।

$\int \left[\frac{1-\log x}{1+(\log x)^{2}}\right]^{2} dx = $

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