यदि int frac{(x - 1)^2}{(x^2 + 1)^2} dx = tan | vedclass

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Question

(B) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{(x - 1)^2}{(x^2 + 1)^2} dx$ है। अंश का विस्तार करने पर,$(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$ प्राप्त होता है। अतः,$I = \int \

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$\frac{1}{x^2 + 1}$

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(B) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{(x - 1)^2}{(x^2 + 1)^2} dx$ है। अंश का विस्तार करने पर,$(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$ प्राप्त होता है। अतः,$I = \int \frac{x^2 + 1 - 2x}{(x^2 + 1)^2} dx$। समाकलन को अलग करने पर,$I = \int \frac{x^2 + 1}{(x^2 + 1)^2} dx - \int \frac{2x}{(x^2 + 1)^2} dx$। यह सरल होकर $I = \int \frac{1}{x^2 + 1} dx - \int 2x(x^2 + 1)^{-2} dx$ हो जाता है। हम जानते हैं कि $\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = 	an^{-1}(x)$। दूसरे भाग के लिए,मान लीजिए $u = x^2 + 1$,तो $du = 2x dx$। अतः,$\int 2x(x^2 + 1)^{-2} dx = \int u^{-2} du = \frac{u^{-1}}{-1} = -\frac{1}{u} = -\frac{1}{x^2 + 1}$। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$I = 	an^{-1}(x) - (-\frac{1}{x^2 + 1}) + k = 	an^{-1}(x) + \frac{1}{x^2 + 1} + k$। दिए गए रूप $	an^{-1}(x) + g(x) + k$ के साथ तुलना करने पर,$g(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ प्राप्त होता है।

यदि $\int \frac{(x - 1)^2}{(x^2 + 1)^2} dx = \tan^{-1} (x) + g(x) + k$ है,तो $g(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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