यदि f(x) = pi sin(pi x) + 2x - 4 का आदि फलन ( | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए $F(x)$,$f(x)$ का आदि फलन है। तब $F(x) = \int f(x) \, dx = \int (\pi \sin(\pi x) + 2x - 4) \, dx$. पद-दर-पद समाकलन करने पर,$F(x) = -\cos(

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{$2$}

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(C) मान लीजिए $F(x)$,$f(x)$ का आदि फलन है। तब $F(x) = \int f(x) \, dx = \int (\pi \sin(\pi x) + 2x - 4) \, dx$. पद-दर-पद समाकलन करने पर,$F(x) = -\cos(\pi x) + x^2 - 4x + C$ प्राप्त होता है। दिया गया है कि $F(1) = 3$,इसलिए $x = 1$ रखने पर: $F(1) = -\cos(\pi) + (1)^2 - 4(1) + C = 3$. चूंकि $\cos(\pi) = -1$,इसलिए $-(-1) + 1 - 4 + C = 3$,जो $1 + 1 - 4 + C = 3$ में सरल होता है,यानी $-2 + C = 3$,जिससे $C = 5$ प्राप्त होता है। अतः,$F(x) = -\cos(\pi x) + x^2 - 4x + 5$. हम वह $x$ ज्ञात करना चाहते हैं जिसके लिए $F(x) = 0$,इसलिए $-\cos(\pi x) + x^2 - 4x + 5 = 0$,या $\cos(\pi x) = x^2 - 4x + 5$. दाहिनी ओर को $(x-2)^2 + 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। चूंकि $\cos(\pi x) \le 1$ और $(x-2)^2 + 1 \ge 1$,यह समीकरण केवल तभी सत्य है जब $\cos(\pi x) = 1$ और $(x-2)^2 + 1 = 1$ हो। $(x-2)^2 + 1 = 1$ का अर्थ है $(x-2)^2 = 0$,इसलिए $x = 2$. $x = 2$ को कोसाइन पद में जाँचने पर: $\cos(2\pi) = 1$. अतः,$x = 2$ ही एकमात्र हल है।

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