यदि int(1+x) log left(1+x^2right) d x=left(x+ | vedclass

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Question

(A) हमें समाकलन $I = \int(1+x) \log(1+x^2) dx = \int \log(1+x^2) dx + \int x \log(1+x^2) dx$ दिया गया है।सबसे पहले,$I_1 = \int \log(1+x^2) dx$ को खंडश

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$-2 x-\frac{x^2}{2}+2 	an ^{-1} x$

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(A) हमें समाकलन $I = \int(1+x) \log(1+x^2) dx = \int \log(1+x^2) dx + \int x \log(1+x^2) dx$ दिया गया है।सबसे पहले,$I_1 = \int \log(1+x^2) dx$ को खंडशः समाकलन (integration by parts) द्वारा हल करें:$I_1 = x \log(1+x^2) - \int x \cdot \frac{2x}{1+x^2} dx = x \log(1+x^2) - 2 \int \frac{x^2+1-1}{1+x^2} dx$$I_1 = x \log(1+x^2) - 2 \int (1 - \frac{1}{1+x^2}) dx = x \log(1+x^2) - 2x + 2 	an^{-1} x$.इसके बाद,$I_2 = \int x \log(1+x^2) dx$ को हल करें। मान लीजिए $1+x^2 = t$,तो $2x dx = dt$ या $x dx = \frac{1}{2} dt$:$I_2 = \frac{1}{2} \int \log t dt = \frac{1}{2} (t \log t - t) = \frac{1}{2} ((1+x^2) \log(1+x^2) - (1+x^2))$.$I_1$ और $I_2$ को जोड़ने पर:$I = x \log(1+x^2) - 2x + 2 	an^{-1} x + \frac{1}{2} (1+x^2) \log(1+x^2) - \frac{1}{2} (1+x^2)$$I = (x + \frac{1}{2} + \frac{x^2}{2}) \log(1+x^2) - 2x + 2 	an^{-1} x - \frac{1}{2} - \frac{x^2}{2}$.इसे दिए गए रूप $(x + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}) \log(1+x^2) + g(x) + C$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:$g(x) = -2x + 2 	an^{-1} x - \frac{x^2}{2}$.

यदि $\int(1+x) \log \left(1+x^2\right) d x=\left(x+\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2}\right) \log \left(1+x^2\right)+g(x)+C$ है,तो $g(x)=$

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यदि $\int \frac{\log (1+x^4)}{x^3} d x=f(x) \log \left(\frac{1}{g(x)}\right)+\tan ^{-1}(h(x))+c$ है,तो $h(x)\left[f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)\right]=$

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