यदि int x^3 e^{2 x} d x = frac{e^{2 x}}{8} f( | vedclass

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Question

(A) दिया गया है,$\int x^3 e^{2 x} d x = \frac{e^{2 x}}{8} f(x) + c$.खंडशः समाकलन (integration by parts) का बार-बार उपयोग करने पर:$\int x^3 e^{2 x} d x

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$\frac{1}{2}$

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(A) दिया गया है,$\int x^3 e^{2 x} d x = \frac{e^{2 x}}{8} f(x) + c$.खंडशः समाकलन (integration by parts) का बार-बार उपयोग करने पर:$\int x^3 e^{2 x} d x = x^3 \frac{e^{2 x}}{2} - \int 3x^2 \frac{e^{2 x}}{2} d x$$= \frac{x^3 e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} \left( x^2 \frac{e^{2 x}}{2} - \int 2x \frac{e^{2 x}}{2} d x \right)$$= \frac{x^3 e^{2 x}}{2} - \frac{3x^2 e^{2 x}}{4} + \frac{3}{2} \int x e^{2 x} d x$$= \frac{x^3 e^{2 x}}{2} - \frac{3x^2 e^{2 x}}{4} + \frac{3}{2} \left( x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x \right)$$= \frac{x^3 e^{2 x}}{2} - \frac{3x^2 e^{2 x}}{4} + \frac{3x e^{2 x}}{4} - \frac{3}{4} \frac{e^{2 x}}{2} + c$$= \frac{e^{2 x}}{8} (4x^3 - 6x^2 + 6x - 3) + c$.दिए गए रूप से तुलना करने पर,$f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 6x - 3$.$f(x) = 1$ के लिए,$4x^3 - 6x^2 + 6x - 4 = 0$,जो सरल होकर $2x^3 - 3x^2 + 3x - 2 = 0$ हो जाता है।गुणनखंड करने पर,$2(x^3 - 1) - 3x(x - 1) = 0 \Rightarrow (x - 1)(2(x^2 + x + 1) - 3x) = 0$.$(x - 1)(2x^2 - x + 2) = 0$.मूल $x = 1$ (वास्तविक) और $2x^2 - x + 2 = 0$ (सम्मिश्र) हैं।सम्मिश्र मूलों का योग $-\frac{b}{a} = -(\frac{-1}{2}) = \frac{1}{2}$ है।

यदि $\int x^3 e^{2 x} d x = \frac{e^{2 x}}{8} f(x) + c$ है,तो $f(x) = 1$ के सभी सम्मिश्र मूलों का योग ज्ञात कीजिए।

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समाकलन ज्ञात कीजिए: $\int \frac{\sqrt{x^2+1}\left[\log \left(x^2+1\right)-2 \log x\right]}{x^4} d x$

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