यदि {I_n} = int {{(log x)}^n} , dx है,तो {I_n | vedclass

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Question

(A) दिया गया है ${I_n} = \int {{(\log x)}^n} \, dx$. खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = {(\log x)^n}$ और $dv = dx$ ह

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$x{(\log x)^n}$

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(A) दिया गया है ${I_n} = \int {{(\log x)}^n} \, dx$. खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = {(\log x)^n}$ और $dv = dx$ है। तब $du = n{(\log x)}^{n - 1} \cdot \frac{1}{x} \, dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है। सूत्र $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ लागू करने पर: ${I_n} = x{(\log x)^n} - \int x \cdot n{(\log x)}^{n - 1} \cdot \frac{1}{x} \, dx$ ${I_n} = x{(\log x)^n} - n \int {{(\log x)}^{n - 1}} \, dx$ चूंकि ${I_{n - 1}} = \int {{(\log x)}^{n - 1}} \, dx$,इसलिए हमें प्राप्त होता है: ${I_n} = x{(\log x)^n} - n{I_{n - 1}}$ पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है: ${I_n} + n{I_{n - 1}} = x{(\log x)^n}$.

यदि ${I_n} = \int {{(\log x)}^n} \, dx$ है,तो ${I_n} + n{I_{n - 1}} = $

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यदि $\int x^3 e^{2 x} d x = \frac{e^{2 x}}{8} f(x) + c$ है,तो $f(x) = 1$ के सभी सम्मिश्र मूलों का योग ज्ञात कीजिए।

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