यदि int frac{1+cos (4 x)}{cot (x)-tan (x)} d | vedclass

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Question

(C) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{1+\cos (4 x)}{\cot x-	an x} dx$ है। सर्वसमिका $1+\cos(2	heta) = 2\cos^2(	heta)$ का उपयोग करने पर,$1+\cos(4x) =

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$k=\frac{-1}{8}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{1+\cos (4 x)}{\cot x-	an x} dx$ है। सर्वसमिका $1+\cos(2	heta) = 2\cos^2(	heta)$ का उपयोग करने पर,$1+\cos(4x) = 2\cos^2(2x)$ प्राप्त होता है। साथ ही,$\cot x - 	an x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{\cos(2x)}{\frac{1}{2}\sin(2x)} = 2\cot(2x)$। इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int \frac{2\cos^2(2x)}{2\cot(2x)} dx = \int \frac{\cos^2(2x)}{\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}} dx = \int \cos(2x)\sin(2x) dx$। सर्वसमिका $\sin(2	heta) = 2\sin	heta\cos	heta$ का उपयोग करने पर,$\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x)$,इसलिए $\sin(2x)\cos(2x) = \frac{1}{2}\sin(4x)$। $I = \int \frac{1}{2}\sin(4x) dx = \frac{1}{2} \left( \frac{-\cos(4x)}{4} ight) + c = -\frac{1}{8}\cos(4x) + c$। इसकी तुलना $k\cos(4x) + c$ से करने पर,हमें $k = -\frac{1}{8}$ प्राप्त होता है। अतः,विकल्प $(c)$ सही है।

यदि $\int \frac{1+\cos (4 x)}{\cot (x)-\tan (x)} d x=k \cos (4 x)+c$ है,तो

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