यदि int_{0}^{pi/2} tan^{n}(x) dx = k int_{0}^ | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{0}^{\pi/2} 	an^{n}(x) dx$ है। निश्चित समाकलन के गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करते हुए,हम $x$

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$k = 1$

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(A) माना $I = \int_{0}^{\pi/2} 	an^{n}(x) dx$ है। निश्चित समाकलन के गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करते हुए,हम $x$ को $\frac{\pi}{2} - x$ से प्रतिस्थापित करते हैं। $I = \int_{0}^{\pi/2} 	an^{n}(\frac{\pi}{2} - x) dx$। चूंकि $	an(\frac{\pi}{2} - x) = \cot(x)$,इसलिए हमें $I = \int_{0}^{\pi/2} \cot^{n}(x) dx$ प्राप्त होता है। इसे दिए गए समीकरण $\int_{0}^{\pi/2} 	an^{n}(x) dx = k \int_{0}^{\pi/2} \cot^{n}(x) dx$ के साथ तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $I = k \cdot I$ है। अतः,$k = 1$।

यदि $\int_{0}^{\pi/2} \tan^{n}(x) dx = k \int_{0}^{\pi/2} \cot^{n}(x) dx$ है,तो

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यदि $n \geq 1$ के लिए,$P_n = \int\limits_1^e (\log x)^n \, dx$ है,तो $P_{10} - 90P_8$ का मान ज्ञात कीजिए।

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