यदि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,तो $\int_0^5 [x] \, dx =$

यदि $\int \limits_{\frac{1}{3}}^3 |\log_e x| dx = \frac{m}{n} \log_e \left(\frac{n^2}{e}\right)$,जहाँ $m$ और $n$ सह-अभाज्य प्राकृतिक संख्याएँ हैं,तो $m^2 + n^2 - 5$ का मान $............$ है।

मान लीजिए कि $(2^{1-a} + 2^{1+a})$, $f(a)$, $(3^a + 3^{-a})$ समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) में हैं और $\alpha$, $f(a)$ का न्यूनतम मान है। तो समाकलन $\int_{\log_e(\alpha-1)}^{\log_e(\alpha)} \frac{dx}{(e^{2x} - e^{-2x})}$ का मान ज्ञात कीजिए:

निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_{1}^{e} (x+1) e^{x} \ln x \, dx$

निश्चित समाकलन $\int_{1}^{2} (4x^{3} - 5x^{2} + 6x + 9) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $x({x^4} + 1)\phi (x) = 1,$ है,तो $\int_1^2 {\phi (x)\,dx = } $