यदि f एक सतत फलन है और f(x+T)=f(x) सभी x in R | vedclass

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Question

(B) दिया गया समाकलन $I = \int_0^{50\pi} \sqrt{1-\cos 2x} dx$ है। सर्वसमिका $1-\cos 2x = 2\sin^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sqrt{1-\cos

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$100\sqrt{2}$

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(B) दिया गया समाकलन $I = \int_0^{50\pi} \sqrt{1-\cos 2x} dx$ है। सर्वसमिका $1-\cos 2x = 2\sin^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sqrt{1-\cos 2x} = \sqrt{2\sin^2 x} = \sqrt{2}|\sin x|$। चूंकि फलन $f(x) = \sqrt{2}|\sin x|$ का आवर्तकाल $T = \pi$ है,हम गुणधर्म $\int_0^{NT} f(x) dx = N \int_0^T f(x) dx$ का उपयोग कर सकते हैं। यहाँ $N = 50$ और $T = \pi$ है,इसलिए $I = 50 \int_0^{\pi} \sqrt{2}|\sin x| dx$। अंतराल $[0, \pi]$ में,$\sin x \ge 0$ है,इसलिए $|\sin x| = \sin x$ होगा। अतः,$I = 50\sqrt{2} \int_0^{\pi} \sin x dx$। $I = 50\sqrt{2} [-\cos x]_0^{\pi}$। $I = 50\sqrt{2} (-(\cos \pi - \cos 0)) = 50\sqrt{2} (-(-1 - 1)) = 50\sqrt{2} (2) = 100\sqrt{2}$।

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निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_{0}^{\infty} \frac{x}{(1 + x)(1 + x^2)} \, dx$

$\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $f(t) = \int_0^\pi \frac{2x \, dx}{1 - \cos^2 t \sin^2 x}$,जहाँ $0 < t < \pi$,तो $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\pi^2 \, dt}{f(t)}$ का मान .......... है।

निश्चित समाकल $\int_{-1/2}^{1/2} (\sin^{-1}(3x - 4x^3) - \cos^{-1}(4x^3 - 3x)) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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