निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: int_{0}^{i | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{0}^{\infty} \frac{x}{(1 + x)(1 + x^2)} \, dx$. गुणधर्म $\int_{0}^{\infty} f(x) \, dx = \int_{0}^{\infty} f(1/x) \cdot \frac{1}{x^2

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$\frac{\pi}{4}$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_{0}^{\infty} \frac{x}{(1 + x)(1 + x^2)} \, dx$. गुणधर्म $\int_{0}^{\infty} f(x) \, dx = \int_{0}^{\infty} f(1/x) \cdot \frac{1}{x^2} \, dx$ का उपयोग करते हुए,हम $x = 1/t$ प्रतिस्थापित करते हैं,जिससे $dx = -1/t^2 \, dt$ प्राप्त होता है। जब $x 	o 0, t 	o \infty$ और जब $x 	o \infty, t 	o 0$। $I = \int_{\infty}^{0} \frac{1/t}{(1 + 1/t)(1 + 1/t^2)} \cdot (-1/t^2) \, dt = \int_{0}^{\infty} \frac{1/t}{(\frac{t+1}{t})(\frac{t^2+1}{t^2})} \cdot \frac{1}{t^2} \, dt = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{t(t+1)(t^2+1)/t^3} \cdot \frac{1}{t^2} \, dt = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(t+1)(t^2+1)} \, dt$. अब,$2I = \int_{0}^{\infty} \frac{x}{(1+x)(1+x^2)} \, dx + \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1+x)(1+x^2)} \, dx = \int_{0}^{\infty} \frac{x+1}{(1+x)(1+x^2)} \, dx = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} \, dx$. $2I = [	an^{-1}(x)]_{0}^{\infty} = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$. अतः,$I = \frac{\pi}{4}$.

निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_{0}^{\infty} \frac{x}{(1 + x)(1 + x^2)} \, dx$

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माना $u = \int\limits_0^1 {\frac{{\ln (x + 1)}}{{{x^2} + 1}}} \,dx$ और $v = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln (\sin 2x)} \,dx$,तो:

$\int_0^\pi \sin^2 x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-4}^{4} (2^x + 2^{-x})(3^x + 3^{-x}) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{0}^{\infty} \frac{x \ln x}{(1 + x^2)^2} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

समाकलन $\int_{-2}^{2} \frac{\sin^2 x}{[\frac{x}{\pi}] + \frac{1}{2}} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $[x]$ $x$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक दर्शाता है)।

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