यदि y=y(x) समीकरण frac{dy}{dx}=frac{x-y cos x | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}=\frac{x-y \cos x}{1+\sin x}$ है।पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{\cos x}{1+\sin x}\

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$\frac{5 \pi^2}{8}$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}=\frac{x-y \cos x}{1+\sin x}$ है।पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{\cos x}{1+\sin x}\right)y = \frac{x}{1+\sin x}$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{\cos x}{1+\sin x}$ और $Q(x) = \frac{x}{1+\sin x}$ है।समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{\cos x}{1+\sin x} dx} = e^{\ln(1+\sin x)} = 1+\sin x$ है।सामान्य हल $y(I.F.) = \int Q(x)(I.F.) dx + C$ है।$y(1+\sin x) = \int \frac{x}{1+\sin x} (1+\sin x) dx + C = \int x dx + C = \frac{x^2}{2} + C$.शर्त $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi^2}{8}$ का उपयोग करने पर:$\frac{\pi^2}{8}(1+\sin(\frac{\pi}{2})) = \frac{(\pi/2)^2}{2} + C \Rightarrow \frac{\pi^2}{8}(2) = \frac{\pi^2}{8} + C \Rightarrow \frac{\pi^2}{4} - \frac{\pi^2}{8} = C \Rightarrow C = \frac{\pi^2}{8}$.अतः,$y(1+\sin x) = \frac{x^2}{2} + \frac{\pi^2}{8}$ है।$x = \pi$ के लिए,$y(1+\sin \pi) = \frac{\pi^2}{2} + \frac{\pi^2}{8}$ है।चूंकि $\sin \pi = 0$,इसलिए $y(1) = \frac{4\pi^2 + \pi^2}{8} = \frac{5\pi^2}{8}$।

यदि $y=y(x)$ समीकरण $\frac{dy}{dx}=\frac{x-y \cos x}{1+\sin x}$ का हल है और $y\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi^2}{8}$ है,तो $y(\pi)=$

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यदि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y \tan x = x \sec x$,$0 \leq x \leq \frac{\pi}{3}$,$y(0)=1$ का हल वक्र है,तो $y\left(\frac{\pi}{6}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $y^2 dx + (x - \frac{1}{y}) dy = 0$ पर विचार करें। यदि $x = 1$ होने पर $y$ का मान $1$ है,तो $x$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $y = 2$ है:

$y + \frac{d}{dx}(xy) = x(\sin x + \log x)$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) है

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