y + frac{d}{dx}(xy) = x(sin x + log x) का समा | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $y + \frac{d}{dx}(xy) = x(\sin x + \log x)$ है।अवकलज पद का विस्तार करने पर: $y + y + x \frac{dy}{dx} = x(\sin x + \log x)$ प

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$x^2$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण: $y + \frac{d}{dx}(xy) = x(\sin x + \log x)$ है।अवकलज पद का विस्तार करने पर: $y + y + x \frac{dy}{dx} = x(\sin x + \log x)$ प्राप्त होता है।यह सरल होकर: $2y + x \frac{dy}{dx} = x(\sin x + \log x)$ हो जाता है।पूरे समीकरण को $x$ से विभाजित करने पर ($x 
eq 0$ मानते हुए): $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = \sin x + \log x$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{2}{x}$ और $Q = \sin x + \log x$ है।समाकलन गुणक $(IF)$ का सूत्र $e^{\int P dx}$ होता है।$IF = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \log x} = e^{\log x^2} = x^2$ है।अतः,सही विकल्प $C$ है।

$y + \frac{d}{dx}(xy) = x(\sin x + \log x)$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) है

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समीकरण $\frac{dy}{dx} + 2y \tan x = \sin x$ का हल,जो $x = \frac{\pi}{3}$ होने पर $y = 0$ को संतुष्ट करता है,है:

यदि $y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \left( \frac{2x + 1}{x} \right)y = e^{-2x}, x > 0$ का हल है,जहाँ $y(1) = \frac{1}{2}e^{-2}$,तो:

यदि $y(t)$,$(1 + t)\frac{dy}{dt} - ty = 1$ और $y(0) = -1$ का एक हल है,तो $y(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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