यदि y(x) अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + left( fra | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = 2 + \frac{1}{x}$ और $Q(x) = e^{-2x}$ है।समाकलन

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$y(x)$ अंतराल $\left( \frac{1}{2}, 1 \right)$ में ह्रासमान है

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = 2 + \frac{1}{x}$ और $Q(x) = e^{-2x}$ है।समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int (2 + \frac{1}{x}) dx} = e^{2x + \log_e x} = x e^{2x}$ है।व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है।$y(x e^{2x}) = \int e^{-2x} \cdot (x e^{2x}) dx + C = \int x dx + C = \frac{x^2}{2} + C$.चूँकि $y(1) = \frac{1}{2}e^{-2}$ दिया गया है,$x=1$ और $y=\frac{1}{2}e^{-2}$ रखने पर:$\frac{1}{2}e^{-2} \cdot (1 \cdot e^2) = \frac{1^2}{2} + C \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = 0$.अतः,$y = \frac{x}{2}e^{-2x}$ प्राप्त होता है।फलन की प्रकृति की जाँच करने के लिए,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} e^{-2x} + \frac{x}{2} (-2 e^{-2x}) = \frac{e^{-2x}}{2} (1 - 2x)$ ज्ञात करते हैं।जब $x \in \left( \frac{1}{2}, 1 \right)$ है,तब $1 - 2x < 0$ होता है,इसलिए $\frac{dy}{dx} < 0$ है,जिसका अर्थ है कि $y(x)$ अंतराल $\left( \frac{1}{2}, 1 \right)$ में ह्रासमान है।

यदि $y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \left( \frac{2x + 1}{x} \right)y = e^{-2x}, x > 0$ का हल है,जहाँ $y(1) = \frac{1}{2}e^{-2}$,तो:

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