माना x=x(y) अवकल समीकरण 2 y e^{x / y^{2}} d x | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $2 y e^{x / y^{2}} d x+\left(y^{2}-4 x e^{x / y^{2}}\right) d y=0$ है।पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $2 e^{x / y^{2}}[y d x-2

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$-e^{2} \log _{e}(2)$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण $2 y e^{x / y^{2}} d x+\left(y^{2}-4 x e^{x / y^{2}}\right) d y=0$ है।पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $2 e^{x / y^{2}}[y d x-2 x d y]+y^{2} d y=0$ प्राप्त होता है।$y^{3}$ से भाग देने पर,हमें $2 e^{x / y^{2}}\left[\frac{y^{2} d x-2 x y d y}{y^{4}}\right]+\frac{1}{y} d y=0$ प्राप्त होता है।इसे $2 e^{x / y^{2}} d\left(\frac{x}{y^{2}}\right)+\frac{1}{y} d y=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int 2 e^{x / y^{2}} d\left(\frac{x}{y^{2}}\right)+\int \frac{1}{y} d y=C$ प्राप्त होता है।इससे $2 e^{x / y^{2}}+\ln |y|=C$ प्राप्त होता है।दिया गया है कि $x(1)=0$,अतः $x=0$ और $y=1$ रखने पर $2 e^{0}+\ln(1)=C$,जिससे $C=2$ प्राप्त होता है।वक्र का समीकरण $2 e^{x / y^{2}}+\ln |y|=2$ है।$x(e)$ ज्ञात करने के लिए,समीकरण में $y=e$ रखने पर: $2 e^{x / e^{2}}+\ln(e)=2$.$2 e^{x / e^{2}}+1=2 \Rightarrow 2 e^{x / e^{2}}=1$.$e^{x / e^{2}}=\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{x}{e^{2}}=\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln(2)$.अतः,$x(e)=-e^{2} \log _{e}(2)$ है।

माना $x=x(y)$ अवकल समीकरण $2 y e^{x / y^{2}} d x+\left(y^{2}-4 x e^{x / y^{2}}\right) d y=0$ का हल है,जहाँ $x(1)=0$ है। तो,$x(e)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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